Persamaan Gelombang

Gelombang adalah suatu gangguan dari keadaan setimbang yang bergerak dari satu tempat ke tempat lain (Young & Freedman, 1996:593). Sistem gelombang mempunyai fungsi gelombang yang menggambarkan perpindahan satu partikel dalam medium. Fungsi tersebut tergantung pada posisi dan waktu (dimensi ruang dan waktu ), sehingga secara umum fungsi gelombang dapat dinyatakan dengan

. Pada gelombang satu dimensi, dimana gelombang merambat dalam arah

dan bergerak dengan kecepatan konstan sebesar

, fungsi gelombang dapat dinyatakan sebagai

. (1)

Fungsi gelombang pada persamaan (1) dapat dinyatakan sebagai

dan

. Dengan menggunakan aturan berantai, maka akan diperoleh persamaan diferensial gelombang satu dimensi, yaitu

(2)

(Alonso & Finn, 1980:678).

Persamaan (2) menggambarkan perambatan gelombang dengan kecepatan

dalam ruang satu dimensi. Pada gelombang elektromagnetik nilai

menyatakan komponen E dan H, pada tali yang digetarkan nilai

menyatakan perpindahan dari keadaan setimbang, dan pada kelistrikan nilai

menyatakan arus atau beda potensial (Boas, 1983:542).

Persamaan Gelombang Model Fermi, Pasta, Ulam

Fermi, Pasta dan Ulam dalam paper mereka di tahun 1955 menyelidiki model gelombang nonlinier dari sebuah tali, dimana tali direntangkan sepanjang sumbu x dan tali hanya bisa bergerak dalam arah sumbu y. Pemodelan tersebut disebut model Fermi, Pasta, Ulam (FPU) (Rucker, 1998

Pada model FPU tali dimodelkan oleh sederet partikel sepanjang sumbu x, dengan setiap koordinat x dipisahkan oleh jarak

, sehingga massa dari setiap partikel adalah

dimana

adalah rapat massa tali. Sedangkan pergerakan tiap partikel dalam arah sumbu y dimodelkan oleh akibat dari hubungan pegas tiap partikel dengan dua tetangganya.

Bila

menyatakan perpindahan vertikal (nilai y) pada waktu

dari partikel yang berada pada posisi horisontal

, dan

menyatakan perbedaan perpindahan vertikal antara dua partikel tetangga, maka jarak antara dua partikel tetangga

dapat dinyatakan sebagai

. Besarnya gaya oleh sebagian besar pegas biasanya dinyatakan sebagai fungsi G dari jarak (dibagi dengan

sehingga gaya ternormalisasi), yaitu

. (3)

Selama diasumsikan bahwa partikel tidak bergerak dalam arah sumbu x, maka hanya memperhatikan komponen vertikal dari gaya pegas. Harga mutlak dari gaya komponen vertikal dapat dinyatakan

. Bila dinyatakan secara tepat sebagai fungsi

, maka diperoleh

. (4)

Jika pegas linier (mengikuti hukum Hooke) dan memiliki panjang keseimbangan

, maka

dimana k adalah harga positif dari konstanta pegas dan

. Untuk pegas nonlinier dimana

merupakan fungsi analitik mendekati

dapat dinyatakan sebagai deret pangkat dari

dimana

sangat kecil, sehingga

dinyatakan sebagai

. (5)

Untuk partikel yang berada pada

dapat didefinisikan bahwa

dan

sehingga dengan menggunakan hukum Newton, persamaan (8) menjadi

. (6)

Pada persamaan (6), untuk

mendekati 0 dapat dihasilkan persamaan diferensial gelombang nonlinier model FPU

, (7)

dengan

adalah turunan kedua

terhadap waktu

adalah turunan pertama

terhadap posisi

dan

adalah turunan kedua

terhadap posisi

Pada permasalahan khusus yaitu jika pegas mengikuti hukum Hooke dan panjang keseimbangan 0, maka bagian nonlinier pada persamaan (7) hilang dan diperoleh bentuk umum persamaan gelombang linier

(8)

dimana

(konstanta pegas). Sedangkan jika

kecil maka pengaruh bagian pangkat tertinggi dapat diabaikan, sehingga diperoleh persamaan (9) yang merupakan persamaan gelombang nonlinier kuadratik model FPU.

(9)

Dan jika gaya pegas tepat sebagai fungsi jarak sehingga

, maka diperoleh persamaan (10) yang merupakan persamaan gelombang nonlinier kubik model FPU.

(10)
Persamaan Laplace

Fungsi potensial V(r) diperoleh melalui penurunan persamaan diferensial parsial sebagai berikut:

……………………………………………………….(1)

Gould dan Tobochnik(1996: 310-320) menyatakan bahwa untuk menyelesaikan persamaan Laplace digunakan metode relaksasi. Metode ini menghitung nilai potensial V(r) setiap titik daerah melalui rata-rata potensial 4 titik tetangga terdekat yang secara tidak langsung sebanding dengan potensial dirinya sendiri.

……….(2)

….....(3)

……..……...(4)

Persamaan (4) dapat diperoleh dari pendekatan ekspansi deret Taylor orde 2. Bukti penurunan rumus terhadap 4 tetangga terdekat dapat dilihat di lampiran1.

Untuk tinjauan terhadap 8 tetangga terdekat nilai potensial V(r) didapat dengan:

Dalam program solusi persamaan Laplace ini menggunakan tinjauan terhadap delapan tetangga terdekat untuk mencari nilai potensial V(r). Bukti penurunan rumus untuk delapan tetangga terdekat dapat dilihat pada lampiran 2.

Transformasi Laplace

Metode transformasi Laplace adalah suatu metoda operasional, yang dapat digunakan secara mudah untuk menyelesaikan “Persamaan Deferential Linear” Maka dengan mengunakan Transformasi Laplace kita dapat mengubah beberapa fungsi umum :

1. Fungsi sinusoidal

2. Fungsi sinusoidal teredam

3. Fungsi Exponensial menjadi aljabar variable kompleks

Sedangkan untuk operasi-operasi seperti deferential dan integral dapat diganti dengan, operasi aljabar bidang komplek dan selanjutnya dapat diselesaikan dengan menggunakan table transformasi Laplace

Defenisi transformasi Laplace :

f(t) = fungsi waktu, adalah nol (0) untuk t< 0

F(s) = fungsi komplek (TL dari f(t)

L = simbul operasional yang menunjukkan bahwa besaran yang dikehendakinya

ditransformasikan dengan integral laplace.

Keuntungannya menggunakan Transformasi Laplace:

1. Kondisi awal akan tercakup secara otomatis mis:

Pada saat t = 0, lihat rangkaian listrik tersebut disini capasitor sudah dianggap bermuatan hal, semacam ini disebut kondisi awal.

2. Dapat menyelesaikan persamaan aljabar biasa

3. Lebih sistematis

4. Sudah tersedianya table

5. Semua macam input mudah untuk diselesaikan

Dalil- dalil Transformasi Laplace

1. Dalil Lenearity :

f(t) F(s)

af(t) a F(s)

2. Dalil Superposisi :

f_1(t)F_1(s)

f_{1(t) ±}f_{2(t) =}F_{1(s) ±}F_2(s)

f_2(t)F_2(s)L[f_{1(t) ±}f_2(t)]₌F_{1(s) ±}F_2(s)

3. Deferensiasi :

Kondisi awal dimana harga f(0), harga awal f(t)

pada saat t = 0

4. Dalil Integrasi

TABEL ANALOGI BESARAN SEKIAS DARI MEKANIS LISTRIK

No	Sistem Mekanis		Sistem Listrik
No	Model Sistem	Simbol	Analogi Gaya ke Arus	Analogi Gaya ke Teganga
1	Gaya ( P ), ( F ) Torsi ( T )		I ( t )	V (t)
2	Kecepatan ( X ) Kecepatan sudut ( θ )		V (t )	I (t )
3	Massa ( M ) atau Momen Inersia ( J )		C	L
4	Koefisien Gesek viskos ( f/D)			R
5	Konstanta Pegas ( k )
6	Perpindahan (x) Perpindahan (θ )		Ψ	q