Teori graph merupakan salah satu bagian yang paling penting dalam matematika kombinatorial. Pada teori graph diberikan model matematika untuk setiap himpunan dari sejumlah objek diskrit, dimana beberapa pasangan unsure dari himpunan tersebut terikat menurut suatu aturan tertentu. Objek diskrit dari himpunan tersebut dapat berupa orang-orang yang memenuhi aturan tertentu, misalnya aturan kenal. Objek dapat juga berupa suatu himpunan nama kota dengan aturan jalan yang menghubungkan antara kota satu ke kota yang lain. Makalah pertama tentang teori graph ditulis oleh seorang ahli matematika dari Swiss Leonard Euler pada tahun 1736 yang berisi persoalan jembatan Konigsberg. Cikal bakal dari teori graph dinyatakan dalam bentuk permainan atau teka-teki. Tetapi sekarang ini teori graph telah dapat memberikan kerangka dasar bagi banyak persoalan yang berhubungan dengan struktur dan hubungan antara suatu objek diskrit dalam bentuk apapun. Pemakaian teori graph telah dapat diterapkan dalam berbagai cabang ilmu pengetahuan seperti ekonomi, psikologi, ilmu sosial, genetika, riset operasional dan lain sebagainya.
B. Defenisi Graph
Sebuah graph G berisikan dua himpunan yaitu himpunan berhingga tak kosong V(G) dari obyek-obyek yang disebut titik (vertex) dan himpunan berhingga (mungkin kosong) E(G) yang elemen-elemennya disebut sisi (edge) sedemikian hingga setiap elemen e dalam E(G) merupakan pasangan tak berurutan dari titik-titik di V(G). Himpunan V(G) disebut himpunan titik G, dan himpunan E(G) disebut himpunan sisi G.
Sebuah graph G dapat dipresentasikan dalam bentuk diagram (gambar) dimana setiap titik G digambarkan dengan sebuh noktah dan setiap sisi yang menghubungkan dua titik di G digambarkan dengan sebuah kurva sederhana (ruas garis) dengan titik-titik akhir di kedua titik tersebut.
Sebuah sisi graph yang menghubungkan sebuah titik dengan dirinya sendiri disebut gelung (loop). Jika terdapat lebih dari satu sisi yang menghubungkan dua titik u dan v pada suatu graph, maka sisi-sisi tersebut disebut sisi-rangkap/sisi-ganda (multiple-edges).
C. Jenis-jenis Graph
1. Graph sederhana
Graph yang tidak mempunyai sisi rangkap dan tidak memiliki gelung disebut graph sederhana.
2. Graph tidak sederhana
a. Graph rangkap
Sebuah graph yang memiliki sisi rangkap tetapi tidak memiliki gelung disebut graph rangkap (multi-graph).
b. Graph semu
Sebuah graph yang memilki sisi rangkap dan memiliki gelung disebut graph semu (pseudograph).
3. Graph komplit
Sebuah graph komplit (graph lengkap) dengan n titik, dilambangkan dengan Kn , adalah graph sederhana dengan n titik dan setiap dua titik berbeda dihubungkan dengan sebuah sisi.
Sebuah graph lengkap sering juga disebut sebagai graph universal. Kerena tiap titik dalam grap lengkap selalu dihubungkan dengan titik lain melalui satu sisi, maka derajat tiap titik dalam sebuah graph lengkap G dengan n titik adalah n-1. Dengan demikian, banyaknya sisi dalam graph lengkap G adalah .
4. Graph bagian (subgraph)
Sebuah graph H disebut graph bagian (subgraph) dari graph G
5. Graph teratur
Sebuah graph disebut graph teratur jika semua titiknya berderajat sama. Misal graph teratur berderajat tiga.
6. Graph lingkaran
Graph sederhana yang setiap titiknya berderajat dua disebut graph lingkaran. Graph lingkaran dengan n titik dilambangkan dengan Cn. Graph lingkaran ini disebut juga graph teratur berderajat dua.
7. Graph kosong atau graph nol
Graph yang tidak memiliki sisi disebut graph kosong atau graph nol. Graph nol dengan n titik dilambangkan dengan Nn. Graph yang hanya mempunyai satu buah titik tanpa sebuah sisi dinamakan graph trivial. Misal graph kosong dengan tiga titik (N3).
8. Graph bipartisi
Sebuah graph G disebut graph bipartisi jika V(G) (himpunan titik graph G) dapat dipartisi menjadi dua himpunan bagian X dan Y sedemikian sehingga setiap sisi dari G menghubungkan sebuah titik di X dan sebuah titik di Y. Kita notasikan (X,Y) bipartisi dari G.
Apabila G sederhana dan bipartisi dengan partisi (X,Y) sedemikian sehingga setiap titik di X berhubungan langsung dengan setiap titik di Y, maka G disebut graf bipartisi lengkap, dinotasikan dengan Km,n dengan m dan n adalah banyaknya titik dikedua partisi tersebut.
9. Graph berbobot
Sebuah graph G disebut graph berbobot jika setiap sisinya diberi sebuah harga.
D. Terminologi (Istilah) Dasar Pada Graph
1. Bertetangga (adjacent)
Dua buah titik, titik u dan titik v pada graph tak berarah G dikatakan bertetangga bila keduanya terhubung langsung dengan sebuah sisi. Dengan kata lain, u bertetangga dengan v jika (u,v) adalah sebuah sisi pada graph G.
2. Bersisian (incident)
Misal sembarang sisi , sisi e dikatakan bersisian dengan titik u dan titik v.
3. Titik terpencil (isolated vertex)
Titik terpencil adalah titik yang tidak mempunyai sisi yang bersisian dengannya. Atau, dapat juga dikatakan bahwa titik terpencil adalah titik yang tidak satupun bertetangga dengan titik-titik lainnya.
4. Jalan (walk)
Misalkan G adalah sebuah graph. Sebuah jalan (walk) di G adalah sebuah barisan berhingga (tak kosong) yang suku-sukunya bergantian titik dan sisi, sedemikian hingga dan adalah titik-titik akhir sisi ei, untuk . Katakan W adalah sebuah jalan dari titik (titik awal) ke titik (titik akhir), sedangkan titik-titik disebut titik-titik internal W dan k disebut panjang jalan W. Dengan kata lain, jalan (walk) ialah dimana sisi dan titiknya boleh berulang.
Dari gambar, barisan adalah sebuah jalan di graph G yang panjangnya 4.
5. Jejak (trail)
Jejak adalah jalan yang sisi-sisinya tidak ada yang sama, tetapi titiknya boleh ada yang sama.
Dari gambar, barisan adalah sebuah jejak di graph G dengan panjang 5.
6. Lintasan (path)
Lintasan adalah jejak yang semua titiknya berbeda (sisi dan titiknya tidak ada yang sama).
Dari gambar, barisan adalah sebuah lintasan di graph G dengan panjang 4.
7. Sirkit
Sirkit adalah Jejak tertutup.
Dari gambar, barisan adalah sebuah jejak tertutup (sirkit) di graph G dengan panjang 8.
8. Siklus/lintasan tertutup (sikel)
Sikel adalah sebuah sirkit yang titik awal dan semua titik internalnya berbeda (titik awal dan titik akhirnya sama dimana titik dan sisinya tidak ada yang berulang).
Dari gambar, barisan adalah sebuah sikel di graph G dengan panjang 4.
9. Terhubung dan tidak terhubung
Suatu graph G dikatakan terhubung jika dan hanya jika setiap 2 titik dalam G terhubung (gambar a), sedangkan suatu graph G dikatakan tidak terhubung jika dan hanya jika ada 2 titik dalam G yang tidak terhubung (gambar b).
10. Komplemen
Misalkan G sebuah graph sederhana. Komplemen G dilambangkan dengan , adalah graph sederhana yang himpunan titiknya sama dengan himpunan titik G dan dua titik u dan v di berhubungan langsung jika dan hanya jika di G titik u dan v tidak berhubungan langsung.
11. Isomorfik
Dua graph G dan H dikatakan isomorfik ditulis , jika:
(i) Terdapat korespondensi satu-satu antara V(G) dan E(G),
(ii) Banyaknya sisi yang menghubungkan dua titik u dan v di G, sama dengan banyaknya sisi yang menghubungkan dua titik di H yang korespondensi dengan titik u dan titik v.
Graph G1 isomorfik dengan graph G2, sedangkan graph G1 tidak isomorfik dengan graph G3.
Referensi:
· Heri Sutamo, dkk. 2003. Matematika Diskrit. Bandung: Jurusan Matematika UPI & JICA.
· Ketut Budayasa. 1994. Matematika Diskrit. Surabaya: University Press Unesa.
· Ketut Budayasa. 2007. Teori Graph. Surabaya: University Press Unesa.
· Rinaldi Munir. ( ). Matematika Diskrit (edisi 3)., Informatika.
· A. Limbong, dkk. 2006. Matematika Diskrit. Bandung: CV. Utomo.
· Sumantri Slamet, dkk. 1991. Matematika Kombinatorik. Jakarta: Kelompok Gramedia.
· Jong Jek Siang. 2002. Matematika Diskrit dan Aplikasinya Pada Ilmu Komputer. Yokyakarta: Andi Yokyakarta.
· Purwanto. 1998. Teori Graph. Malang: Jurusan Pendidikan Matematika.
· C. L. Liu. 1995. Dasar-dasar Matematika Diskrit. Jakarta: PT. Gramedia.
· Richard Johnson Baugh. 1997. Matematika Diskrit (terjemahan). Yokyakarta: PT. Aditya Media.